求 $f(x)=e^x \sin x$ 和 $g(x)=e^x \cos x$的高阶导数.

证明:

\[
g^{(n)}(x)=\begin{cases}
(-4)^{k}e^x \cos x, & n=4k,\\
(-4)^{k}e^x(\cos x-\sin x), & n=4k+1,\\
(-4)^{k}(-2)e^x \sin x, & n=4k+2,\\
(-4)^{k}(-2)e^x(\sin x+\cos x), & n=4k+3.
\end{cases}
\]

$g^{(n)}(x)$ 可以写为

\[
g^{(n)}(x)=-(\sqrt{2})^n e^x \sin(x+\frac{n-2}{4}\pi),\quad n\geqslant 1.
\]

当然, 也可以写为

\[
g^{(n)}(x)=(\sqrt{2})^n e^x \cos(x+\frac{n}{4}\pi),\quad n\geqslant 1.\tag{*}
\]

对于 $g(x)=e^x\cos x$, 由 Leibniz 求导法则,

\[
\begin{split}
g^{(n)}(x)&=\sum_{k=0}^{n}C_n^k (e^x)^{(n-k)}\cdot(\cos x)^{(k)}\\
&=\sum_{k=0}^{n}C_n^k e^x\cos(x+\frac{\pi}{2}\cdot k)\\
&=e^x\cdot\sum_{k=0}^{n}C_n^k\cos(x+\frac{\pi}{2}\cdot k).
\end{split}
\]

因此, 对比 (*) 式, 我们得到

\[
\sum_{k=0}^{n}C_n^k\cos(x+\frac{\pi}{2}\cdot k)=(\sqrt{2})^n\cos(x+\frac{\pi}{4}\cdot n).
\]